1.全班活动，教师运用现代信息技术以多面体及其欧拉公式的探索为载体，激发学生学习数学的兴趣，培养学生研究性学习
的能力。
2.让学生了解多面体、简单多面体的概念，自己发现欧拉公式，使学生了解到：欧拉研究多面体用了一种特别方法，即假定
多面体的表面是用橡皮薄膜制作的，如果给它充气，那么它就会连续（不破裂、不粘连）变形，把平面变成了曲面。着重培养学
生发现问题、探究问题和归纳总结的能力。
3.指导学生叙述欧拉公式，即任何一个简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足以下特有的规律：V+F-E=2
4.研讨多面体、简单多面体、凸多面体和正方体之间有什么关系？ |
1.全班活动，教师以多面体欧拉公式的证明及其应用为载体，让学生再度演练研究性课题的学习、研究过程，培养他们的探
究性学习能力，增强创新能力。
2.让学生了解欧拉公式的证明过程，使学生明白：任何创新性成果的产生都是以观念和方法的创新为前提的；欧拉公式的发
现与证明就是得益于两大创新，即“把多面体的表面看做用橡皮薄膜制作的”（观念的创新）与“向它们内部充气；将底面剪
掉，然后其余各面拉开铺平”（方法的创新）。
3.教师用多媒体电脑演示欧拉公式的初步应用：
分析C的分子结构图；思考是否存在棱数为７的正多面体；为什么只有5种正多面体……指导学生掌握欧拉公式的初步应用。
4.简单介绍“橡皮几何学”的数学分支——拓扑学，激发学生学习数学的兴趣。
教师提供选题，学生自主申报课题，学生在教师指导下组成课题组，协作探究“多面体欧拉公式”。
教师将参考选题（参见本文第二部分“任务”的4个课题）及其有关资料在校园网“多面体欧拉公式的发现”网页发布。学
生自由申报其中的一个课题，教师根据学生申报的具体情况进行必要的协调，并指导学生组成研究小组，分工协作，用两周的课
外时间到图书馆、电子阅览室、校园网和互联网查询有关资料，也可以通过互联网与国内外有关专家、学者、教师和学生等进行
交流，进行协作探究，共同完成学习任务。
要求每个研究小组在规定的时间内完成，各课题小组将研究取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面材料和口头报告
材料，以恰当的方式表达研究成果。成果的具体形式主要有实验报告、调查报告、研究报告和学术论文等。各课题组将研究成果
在教师指导下制成PowerPoint形式的电子文档资料，上传到校园网络中指定的“BBS论坛”处进行展示。 |
各小组推荐一人和教师组成“专家评议组”，由组长抽签决定答辩的顺序。各小组选派一名代表向全班汇报研究成果。答
辩时，先由答辩者在规定的时间内介绍本组的工作（包括如何选题、解决问题的基本思路、如何克服困难和如何合作等），再由
答辩者回答“专家”（教师或学生等）或听众就其工作的提问。 |
分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个
面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减
少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以 V+F-E= V+F1-E+1=2
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