小组集体的评价与小组成员的个人评价相结合；研究过程评价与研究成果评价相结合。
举行论文答辩后，由“专家评议组”进行评比，分为一等奖、二等奖、三等奖和成功参与奖四个层次对研究小组进行评
价与奖励。我们特别注重学生创新能力的培养与实践活动的参与，让每一个学生获得亲自参与研究探索的体验，让每个学生
体验科研成功的喜悦，培养对社会的责任心与使命感，培养科学态度与科学道德等。与此同时，我们在学生协作探究过程中
随时观察并记录学生的表现，对学生进行随堂评价，即对学习过程的评价。例如，学生对学习过程的理解和态度如何，所完
成的作业表述方式是否清晰，陈述理由是否充足，解决方法是否新颖，学习效果是否得到了充分的展现等等。这些从不同角
度进行评价的方法，不仅对学生的学习效果进行了公正的评价，也给学生提供了利用反馈改进学习的方法，并帮助他们建立
起可持续发展的学习观念。
我们更侧重于对小组集体的评价，研究方案是否科学可行，小组分工是否合理，小组成员的合作程度如何，组员参与度
如何，课题完成质量如何等。而对于小组成员的个人评价，应着重对其参与活动的态度，执行和完成任务的情况，在小组集
体活动的具体表现，与学习伙伴的合作情况以及对作业的完成和研究结果有何贡献等。
[典型例题]
★例1、下列几何体是正多面体的是( )。
A.长方体 B.正四棱柱 C.正三棱锥 D.棱长都相等的三棱锥
解：选D，因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体。
★例2、对于下列命题：
(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多体；
(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；
(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；
(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是_________。
解：(2)显然不对，∵正十二本每个面都是全等的正五边形。
(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面
必须是全等的正多边形。
故(1)、(4) 不对，∴应填(3)
★例3、一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有( )条棱，( )面；②如果它是棱柱，那么它有( )条棱( )个
面。
解：①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面
[基础题]
★例1、一个十二面体共有8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，则其他顶点处各有多少条
棱？
思路：可利用欧拉公式，关键在于弄清E、F、V的含义。
解：∵F=12，V=8
∴E=V+F-2=18
两个顶点处各有6条棱，余下6个顶点，这6个顶点构成六边形，过这6个顶点的棱各有条。
这样的十二面体模型可以这样作：作一六边形（不妨作正六边形），在这个六边形所在两侧各取一点，共8个顶点，12个面。
★例2、一个简单多面体的顶点数为12，每个顶点处都有3条棱，面的形状只有四边形和六边形，求该多面体的各面中四边形
和六边形的个数。
思路：可利用欧拉公式列出关于多面体面数F，顶点V的方程，关键在于确定棱数或找出棱数与该多面体的各面中四边形和六
边形的个数之间的关系，从而探求思路。
在多面体中，顶点数V=12，面数F=x+y。 所以该多面体的面中四边形有6个，六边形有2个。
[易错题]
★例：一个简单多面体的各面都是三角形，若它的顶点数为V，面数为F，则F与V之间的关系是_________。
错解：因多面体有F个三角形，从而有3F条边故多面体的棱数为E=3F据欧拉公式得V+F-3F=2
∴V=2F+2。
错误原因分析：错把多面体的棱数算成了3F条，没有考虑到多面体相邻两面的两条边合为一条棱，故多面体的棱数实为。
解：因多面体有F个三角形，从而有3F条边故多面体的棱数为据欧拉公式得
∴2V=F+4，即F=2V-4
[创新题]
★例1、已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，以每个顶
点为一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。
解：设三角形晶面有x个，八边形晶面有y个，则单晶铜面数F=x+y
又顶点数V=24，且每个顶点为一端都有3条棱，所以棱数由欧拉公式得24+(x+y)-36=2整理得x+y=14
①又因棱数整理得3x+8y=72 ②
由①②解得x=8，y=6，所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个。
★例2、有一个三棱锥和一个四棱锥，它们的棱长都相等，将它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？
思路：此题是美国的一道有83万人参加的1982年中学生数学竞赛试题，出题者和绝大部分考生都认为正确的答案是7个面，
但佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是5个面。被评卷委员会所否定，结果丹尼尔自己做了一个模型验证其结论的正确性，
并给出了证明，提出了申诉。最后在有关数学家再度仔细考虑之后不得不承认他是正确的。实际上丹尼尔最初是凭直觉来思
考的，但丹尼尔的思维是创新思维。
解：面VAD叠合后，直觉地想到SV∥AB，则S、A、B、V共面，同理，S、V、C、D也共面。先作SV∥AB，取VS=a
（棱长），则易证S—VAD为正三棱锥。
答：还有5个面暴露。
[名校模拟题]
★例1、已知简单多面体的每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交。求该简单多面体的面数、顶点数和棱数。
思路：由欧拉公式及简单多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系，得到由三个未知量组成的方程组，解方程组即可。
解得E=30，F=12，V=20
答：该简单多面体的面数为12，顶点数为20，棱数为30。
★例2、求棱长为a的正八面体的体积V和表面积S。
思路：用割补思想将正八面体分割成两个四棱锥求解。
解：截面ABCD是一个边长为a的正方形，并且把正八面体分割成两个全等的正四棱锥E—ABCD和F—ABCD。
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