“对比探索正弦函数的变换规律”教学设计

王怀昌

（山东省枣庄市第三中学 277100）

教学目标

1、理解三个参数A、ω、φ对函数图象的影响；

2、揭示函数的图象与正弦曲线的变换关系。

教学形式：

小组教学，每个学习小组一台计算机，并能够运行“对比探索正弦函数的变换规律”的互动程序。

教学用具：

互动程序——对比探索正弦函数的变换规律

http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=26

教学活动设计：

一、自主探究

打开互动程序——对比探索正弦函数的变换规律

1、如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sinx、 y＝2sinx的图象？

振幅变换：y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的。它的值域[-A, A]。最大值是A, 最小值是-A．若A<0 可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折，A称为振幅。

2、如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sinx、 y＝sin2x的图象？

周期变换：函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图．ω决定了函数的周期．

3、如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sin(x-)、 y＝sin(x+)的图象？

相位变换：函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”）

二、合作研究

由正弦曲线如何变化得到函数的图象？

问题提出：三种变换能否任意排序？

给出了正弦曲线一个周期内的图象，并用五点作图法绘出了函数在一个周期内的图象。

同时提供了三种变换的6种不同排列方式；学生分组选择不同变换方式进行探究，观察所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出的图象是否重合，以此检验所选变换方式的正确性。

A、自主实验，形成初步结论.

经过尝试、观察，有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象重合；有些学生所选变换方式得到的图象与五点作图法绘出图象不重合；

形成初步结论：“三种变换不可以任意排列”、“有的排列方式得到的图象与五点法绘出图象不重合”。

共同分析下面两个过程：

1、先进行周期变换后进行平移变换再振幅变换

注意观察：此时向左平移多少？

2、先进行平移变换后进行周期变换再振幅变换

B、深入探究，讨论分析；

问题1：得到不重合的图象的变换方式有什么共同点？

（共同点是先进行周期变换后进行平移变换，而且平移量过大。）

问题2：得到不重合图象的原因是三种变换顺序错了？还是变换中某个量错了？

（这与顺序无关，只要将平移量由改为即可得到重合的图象。）

C、实验小结，形成结论；

顺序可任意改变；需要注意不同顺序中平移量的不同。先平移变换后周期变换时，需向左平移个单位；先周期变换后平移变换时，需向左平移个单位而不是个单位。

问题3 ：先周期变换后平移变换时，平移量为什么不是，而是？

（平移量变成的主要原因在于。）

（请学生继续尝试和的情况。鉴于教材不要求证明，由不完全归纳法得出规律：先进行周期变换后进行平移变换时应该平移个单位。平移量是由的改变量确定的。）

问题4 ：为避免繁琐，直接平移个单位，采用怎样的顺序较好？

（先进行平移变换后进行周期变换比较好。）

总结：

①由正弦曲线变换到函数的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移个单位，先周期变换后平移变换时平移个单位。

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与有关）。

三、小结

平移法过程：

两种方法殊途同归

注：本小结知识转自"高中数学2006年全国优质课比赛教案(32个省、区、直辖市)--《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时)》说课稿"

四、拓展研究

（1）如何由函数y＝sin(2x+)的图象通过变换得到函数y＝sin x的图象？

（2）函数的图象经过怎样的变换得到的图象？

（3）函数的图象经过怎样的变换得到的图象？

（4）函数的图象经过怎样的变换得到 的图象？

（5）函数的图象经过怎样的变换得到的图象？

五、资源推荐

简谐运动的图象

http://www.cn-teacher.com/Article/wuli/gk/200612/87469.html