《二项分布》课堂教学设计

王怀昌

（山东省枣庄市第三中学 277100）

说明：在《普通高中课程标准实验教科书》 数学 选修2-1 A版中，第二章2.2二项分布及其应用，高尔顿板问题在2.4正态分布。二项分布是在学习了排列组合、概率问题之后，对随机变量问题进行的研究。本课依托数学互动程序工具软件，说明二项分布。

教学形式：

小组教学，每个学习小组一台计算机，并能够运行《二项分布》互动程序

教学用具：

数学互动程序——二项分布

教学活动设计：

一、设计抽奖游戏

如图1所示的装置，现在我们要用这个装置做一个抽奖游戏。这个装置从外表看不到里面的小木棍（蓝点表示的），要求从上面的小口放下一个小球，小球落到下面的不同盒子中，每个盒子对应不同的奖品，每次可以获得一个奖品。如果你是这个游戏的组织者，你会把不同价值的奖品怎么设置才能对自己最合算，同时还能够吸引人来玩呢？假如现在有如下奖品：①苹果，②铅笔，③贺卡，④动漫书，⑤MP3，⑥电冰箱，⑦笔记本电脑，⑧500万大奖，⑨日记本，⑩橡皮

图1

学生以小组为单位进行讨论，并且报告各组的讨论结果。

在学生讨论的过程中，可以指导学生利用二项分布的交互程序进行实验。

二、数学实验

1．总结学生中有代表性的讨论结果，然后在交互程序中进行验证性的演示

2．教师把问题引向深入，深入研究这种结构的装置对于小球最终的结果有什么影响。

l         首先从最简单的入手，设置层数n=1，此时下面有两个盒子，由于设置右侧下落的概率为0.5，任意改变小球数，并记录实验结果。

l         接下来设置层数n=2，此时下面有三个盒子，重复上面的过程。

l         类似的实验n=4、n=5的情况。

三、分析实验结果

1．小组研究，分析实验结果。

2．小组研究之后，各个小组发布自己的研究结果，引导学生认识到如下结果：

l         当n=1时，落入两个盒子的概率相等。改变小球的总数可以发现，当小球数越来越多时，落入两个盒子的小球数的比值越来越接近于1：1，如图2所示。

图2

结论：当n=1时，落入两个盒子的概率都是。

l         当n=2时，小球下落第一次有左右两种可能情况，第二次也有左右两种可能情况，即有左-左、左-右、右-左、右-右，显然左-右、右-左两种情况都落入中间的盒子，所以可以发现，当小球数越来越大时，落入两个盒子的小球数的比值越来越接近于1：2：1，如图3所示。

图3

结论：当n=2时，落入三个盒子的概率分别为、、。

3．深入思考探究：一般地，层数n和落入各个盒子的概率之间有什么关系？学生进行讨论，然后发布本小组的讨论结果。

教师对学生的发言进行评点，最后总结：以n=7为例，每一次都有左右两种可能情况，所以一共有2 种可能。如果要求落到最左边的盒子，必须每次都是左边，只有一种可能，所以概率为 =；如果要求落到编号为1的盒子，必须有一次都是右边，其余全为左边，一共有8种可能，所以概率为 = ；……以此类推，如果要求落到编号为i的盒子，必须有i次都是右边，其余全为左边，一共有C种可能所以概率为 。

由于小球一定落入下面的某盒子，所以所有的概率和应该为1，即

++…++…+=1，也可以写成

C+ C+…+ C+…+ C=2。现在验证了组合数的一个恒等式。

四、总结结论，归纳定义

教师讲解：

独立重复实验，又叫做贝努里（Bernoulli）实验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种实验。这种实验中，每一次实验的结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次实验中发生的概率都是一样的。

在n次独立重复实验中，设事件A发生的次数为X，在每次实验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复实验中，事件A恰好发生k次数的概率为

P(X=k)=Cp(1-p)，k=0，1，2，…，n。

此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。

五、拓展研究

1．      点击“显示分布曲线”，显示小球落入各个箱中的概率曲线。选择“显示理论分布曲线”，显示当前的二项分布曲线。可以发现小球总数越多，两曲线的“拟合”程度越好。如图4所示。由实验可以看出，小球落入中间盒子的概率最大。

图4

思考：一般地，服从二项分布的随机变量取何值时概率最大？

2．      改变“右侧下落的概率”，观察对小球落入各个箱中的影响，如图5所示

图5

4、根据本课学习的知识，重新设计开始时候的抽奖游戏。

五、资源推荐

概率统计

http://wlb1158.blogchina.com/2108987.html

高斯与正态分布

http://www.blog.edu.cn/user2/deerboy/archives/2006/1217489.shtml