互动学习网典型案例——椭圆教学案例

椭圆教学案例

王怀昌

（山东省枣庄市第三中学 277100）

教学目标

1、探究椭圆的中心、顶点、焦点和离心率；

2、绘制椭圆的函数图像；

3、解决含有椭圆的实际问题。

教学形式：

小组教学，每个学习小组一台计算机，并能够运行椭圆互动程序。

教学用具：

直尺、铅笔、纸张、细绳、大头针、木板或者其他类似平板

互动程序——椭圆定义一，http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=206

互动程序——椭圆性质一，http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=207

互动程序——椭圆定义二，http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=208

互动程序——椭圆性质二，http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=209

互动程序——椭圆的光学性质，http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=210

教学活动设计：

引入

背景材料　神州六号的有关图片，图1。问题：神六的运行轨道是什么？方程如何确定？

图1

介绍：我们太阳系中所有行星的运行轨道，其轨迹都是同一类型的圆锥曲线。亚里士多德认为行星运行轨道是圆形，几个世纪后的哥白尼和布拉赫·第谷也持此观点。在布拉赫时代，行星运行的轨道方程还没有被发现，当时认为所有的轨道都是圆的，布拉赫观测了不同时间的行星位置，尝试着将轨道拟合为一个圆，地球运行轨道正好在较小的误差范围内符合圆。

布拉赫有一个助手叫做开普勒，他曾经担心开普勒会在行星运行规律的研究上超过自己，因而让他去研究火星轨迹，由于没有任何一个圆符合火星观测数据，所以这是一个很困难的问题。布拉赫相信这项任务将使开普勒无法超越他了。

开普勒用椭圆轨道代替了圆轨道，这使他出色的完成了这项任务。椭圆这种二次曲线与所有行星的数据相吻合，开普勒因此被称作为行星运动立法的人。

一、椭圆的基本知识

打开互动程序——椭圆定义一，如图2，探索关于椭圆的更多内容。

图2

问题1 ：选择长半轴a等于6、焦点到中心的距离c等于0、选中拖动动点显示轨迹，你看到了什么？

问题2 ：分别取焦点到中心的距离为1、3、5，来看看得到的图形有什么不同？

问题3 ：改变椭圆中心，重复上面的过程，看看轨迹的变化。

问题4 ：选择Y轴作为长半轴，继续试验。

拖动鼠标移动P点，如图3所示，构造一个椭圆。

让学生用鼠标拖动P点，沿着椭圆移动，注意观察两条线段PF和PF的长度变化，增大a的值，再进行同样的操作和观察。提示学生根据上述内容思考PF和PF与椭圆的关系，他们会发现PF＋PF=2a。通过上面的描述，同学们是不是有你的结论呢？

结论：椭圆是到平面上两定点距离之和为一定值的点的集合。

试验过程中，是不是注意到了a、c的大小关系，思考一下，这个“到平面上两定点距离之和”和两定点之间的距离有什么大小关系？即说明椭圆中2a>2c。

图3

利用图3学习椭圆上各部分的名称：中心、顶点和焦点。

椭圆长轴和短轴

学生在“椭圆”交互程序中用鼠标将a滑块从左向右移动，注意比较a的数值与横轴上顶点到中心的距离，他们应该能够发现椭圆中心到一个顶点的距离是a，横轴上两个顶点间的距离是2a。此时，焦点在横轴上，椭圆与横轴的交点就是长轴端点，即长轴对应的顶点。此时，椭圆与纵轴也有两个交点，它们就是短轴端点，短半轴长用b表示。

学生在“椭圆”交互程序中再改变c的数值，并且比较c对椭圆形状的影响。

在交互程序中分别将a和c设置为相应的某个数值。在设置中选择Y轴为长半轴，然后将设置a和c的数值，如图4所示。

通过操作，理解a和c的数值与长轴方向的关系。

学生讨论：在坐标系中，长轴分别在横轴和纵轴上时，长轴端点的位置坐标，他们应该发现长轴在横轴上时长轴端点顶点坐标是（h±a，k），长轴在纵轴上时长轴端点坐标是（h，k±a）。

焦距

提示学生注意观察变量c，并且告诉他们c所对应的线段总沿着长轴方向。学生应该能够发现焦距是焦点之间的距离，焦点到中心的距离就是c的长度。

学生分别将a值设为5，c值为3，指导他们研究a、b、c三个值的关系。

学生讨论：在坐标系中，长轴分别在横轴和纵轴上时候的焦点坐标。

指导学生利用勾股定理发现c=a－b的规律。