多面体欧拉定理的发现

王怀昌

（山东省枣庄市第三中学 277100）

说明：人民教育出版社——高中数学二年级（下）——第09章　多面体欧拉定理的发现。本课依托互动工具软件，通过学生自己发现欧拉公式。

教学形式：

小组教学，每个学习小组一台计算机，并能够运行多面体、正多面体互动程序。

教学用具：

足球（保证每小组一个）

互动程序——多面体http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=87

互动程序——正多面体http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=88

互动程序——正方体的切割http://www.hudongxuexi.com/check.do?func=1&moduleID=92

教学活动设计：

背景材料　北京时间6月9日晚22点30分，2006年德国世界杯的开幕式在慕尼黑的安联体育场拉开序幕，随着德国总统克勒宣布大赛开幕，为期一个月、万众瞩目的世界杯大赛正式开始。首场揭幕战6月10日零点，德国VS哥斯达黎加，比赛地点是慕尼黑。下面是比赛用球及其他品牌的足球。

06世界杯用球

每个小组发一个足球，让学生进行观察。

问题提出　足球虽然是球体，但实际是由正五边形、正六边形橡胶粘合成的多面体加工而成。试问：正五边形、正六边形橡皮各有多少块？大家都知道，世界杯足球决赛阶段共有32支队伍参加，它们有联系吗?

观察　各个小组仔细观察足球的构造，进行讨论、总结，然后表述各自的观点，最后共同总结出下述的结论：

（1）每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮；

（2）每两个相邻的多边形恰有一条公共的边；

（3）每个顶点处都有三块橡皮，而且都遵循一个正五边形、二个正六边形；

（4）共32个面，更进一步可以得到60个顶点，90条棱…

思考　仅有上面1～3的信息，能不能求出来足球共有多少个面？为了解决这个问题，首先学习本节内容。

打开互动程序?D?D多面体

一、多面体欧拉公式的发现：

实验探索，归纳猜想

通过拖动鼠标可以旋转多面体，以便从不同角度观察多面体，通过三维模型直观性更强。下面是“透明显示”

四方尖塔　　　　　　　　五棱锥　　　　　　　六棱柱　　　　　八角鼓

对于上面四个多面体，数出其顶点数V、面数F、棱数E填入下面的表格。每个学生发一张表格，要求认真填写。

提示：可以通过右键对点、线、面涂上选定的颜色。

填表完成后，从表格中观察V、F、E的关系，研究观察各个数值的关系。学生分小组进行观察、讨论、总结，然后表述各自的观点，最后共同总结出下述的结论。

发现规律：V＋F－E＝2，考虑其它学习过的几何体看看是不是也满足这个公式？

师：同学们得出了一个规律，非常好，但我们把这个规律只能叫猜想。还有满足这个规律的多面体吗？

生：有，很多。同学们七嘴八舌的叫起来：五棱锥、四棱柱、五棱柱、六棱柱、三棱台、八面体……

师在表格上一边补充一边作了说明，四棱柱、四棱台的面数、顶点数、棱数与立方体一样，锥体的顶点数与面数相等等等一些规律。

经过一翻热烈的讨论，同学们想到了一般的棱柱、棱锥、棱台也满足刚才的猜想。

师：能找到和上面这些很不一样的多面体吗？

课上到这里，同学们的思路己完全放开，纷纷表示出跃跃欲试的心态。找到了很多多面体，如图：

说明：任一多面体截一n条棱共顶点的小角（上右图）后，从原来的V ＋ F －E＝2变为

（V＋N－1）＋ (F－1) －（E＋N）＝2猜想成立。实际上多截几个小角也可以，即支持了刚才的猜想。

展示问题

上左图带洞的多面体，右图是两个顶部相连的四面体，这时猜想还成立么？

生：不再成立，公式错了，因为只要举出一个反例就能推翻结论？怎么样才对？

同学们交头接耳纷纷发表自己的看法：加强条件。

师：对了，应该限制对什么样的多面体猜想才成立？

师：实际上，上面的反例都不能被看成是“真正的”多面体，因为一个真正的多面体应当是无空穴的，无重叠的。我们可以通过修正多面体的定义，使猜想成立。

归纳简单多面体的定义：

连续变形中表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体。

结论：对任何简单多而体，猜想成立。

欧拉公式：

简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间的关系为：V＋F－E＝2。

问：同学们，是否还存在另一类多而体也存在某一种规律呢？大家想一想，反例中的左图带洞多面体充气后变成什么样子？

生：轮胎。

师：正方体有一个洞，规律又是如何？

经过运算同学们又得一个结论：V＋F－E＝0

思考：如果是多个洞呢？（大家课下研究）反例中的右图充气后变成两个球。

二、正多面体

打开互动程序?D?D正多面体

正四面体　  　正六面体　 　正八面体　　　正十二面体　　　正二十面体

正多面体只有五种，对于这五种多面体，仔细观察完成下面的表格

正多面体的定义：

每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体。

观察思考：

1、正六面体各个面的中心构成正八面体、正八面体各个面的中心构成正六面体；正十二面体各个面的中心构成正二十面体、正二十面体各个面的中心构成正十二面体。

2、对于正二十面体，每个面都是正三角形，从每个顶点出发5条棱，由这些条件能不能计算出它的顶点数？

3、两个相同的正四面体让它们的一个面重合，这时是不是正多面体？

4、正多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间的关系除了欧拉公式之外，还有没有别的关系？

三、典型例题：

例1　1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C有重大贡献的三位科学家。C是由60个原子组成的分子，它的结构为简单多面体的结构，这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，计算C分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？

解：设C分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个多面体的顶点数V＝60，面数F＝x＋y，棱数E＝根据欧拉公式，可得60＋(x＋y)－＝2

另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即＝

由以上两个方程可解出：x＝12，y＝20

例2　足球问题：

运用欧拉公式，求解过程如下：

设足球表面有正五边形x块，正六边形y块，则由上面总结可知：多面体的顶点个数就是正五边形顶点个数之和，所以V＝5x，又由于每条棱都是两个多边形的公共边，

故　E＝

而正五边形和正六边形块数之和就是整个多边形的块数：F＝x＋y，代人V＋F－E＝2，得

            7x－4y＝4,     (1)

球体表面每个顶点处有3个正多边形，由此发现

            5x＋6y＝3V,    (2)

联立(1)解得x＝12, y＝20，

此时F＝x＋y＝32。

共有32个面。

另外，也可以计算出共有60个顶点。

两个题对比：啊！C竟然是“足球”，世界之大，数学知识无处不在，只要我们细心观察生活，用心体会，就会发现，这个世界原来是如此美丽而和谐的统一!

四、思考：

1、有没有棱数为7的简单多面体？

2、计算多面体各面内角和。

3、打开互动程序??正方体的切割

通过切割出来的是不是都是简单多面体？继续验证欧拉公式。

4、足球还有没有其它的构造方式？

五、资源推荐：

欧拉简介

http://jpck.zju.edu.cn/crs/gcltlx/D01Z/01J/010101ol.htm

科学家简介----数学家欧拉

http://www.hzsdyfz.com.cn/thzz/0304/ArticleShow.asp?ArticleID=1371

富勒烯C₆₀及其应用

http://www.fqqz.com/home/hxydw/society/society/12.htm

欧拉定理的发现以及证明

http://iask.sina.com.cn/browse/download.php?path=/45/99/21/1191459921.4846796.ppt&filename=欧拉公式.ppt

http://www.wz22.net/zhanl/kj/12/index.htm

http://202.108.43.235/upload/36/85/85/1418368585.4846796.swf

正多面体只有五种的又一证法

http://jmzx.edu.xm.fj.cn/main/nxwx/c126/grade/Article_Print.asp?ArticleID=164

课下阅读：

凸多面体与简单多面体与球同胚的定义，以及拓朴学中同胚的概念

参考文献：

[1]李岩刚．研究性学习教学实施一例．数学通报．2002年第6期

[2]陈耀忠．“多面体欧拉定理的应用”研究性学习设计．中学教研(数学) ．2002年第7期