《勾股定理》－基于数学互动程序的教学设计

北京 王林海

本节课依托互动程序教学软件，通过探究两个任意的小正方形面积能否按计算给定的分割，拼出一个大正方形，使它的面积等于两个小正方形的和．

教学形式：

本课采用小组学习，要求每个小组至少有一台计算机，能够运行本节课中使用的互动程序．

教学用具：

互动程序软件工具：（1）互动程序－拼正方形；（2）互动程序－勾股定理．

教学活动设计：

一、创设情境导入

1．拼图游戏

现在，我们一起来玩一个拼图游戏，两个正方形被分割成若干个多边形以后，再将这些多边形拼成一个正方形，体会其中是否蕴含着数学知识．

2．打《拼正方形》互动程序软件

◆学习互动程序软件的使用．

点击互动程序左侧的“等级”，假设先选择“初级”出现图（1）．点击“开始游戏”按钮，出现图（2）．再利用鼠标把图象区的各个图形拼成一个正方形，出现图（3）．

　　　　       图（1）　　　　　　　　　　　　　　图（2）　　　　　　　　　　　　　　　图（3）

二、提出问题

1．在拼图游戏中蕴含着一个数学问题，你发现了吗？

两个小正方形的面积和等于大正方形的面积．

2．在拼图游戏中计算机是根据什么来确定拼接后大正方形边长的呢？

三、解决问题

3．探究过程

◆给出四个一样大的直角三角形，一个正方形．

直角三角形的斜边长正好等于正方形的边长．

现在请大家用所给正方形和三角形进行拼图．

◆欣赏下列拼图作品．

◆请大家从左向右看第五幅图案，

它恰好是2002年在我国首都北京召开的世界数学家大会会标的主体图案类似．

请同学们在练习薄上画出这个图案的几何图形．

◆还有一幅图案，它比较规则而且还有一定的对称美．你们认为是哪一幅呢？

◆现在请同学们再用所给图形拼出一个规则的几何图形（图中所有三角形全等）．

◆观察比较这两个几何图形间是否含有某种数学关系？

两图形面积相等．

◆如果各减去4个直角三角形后，它们的面积还相等吗？你能给出证明吗？

2．打开《勾股定理》互动程序软件

◆学习互动程序软件的使用．

打开《勾股定理》互动程序软件，出现图（4）；点击“演示”按钮，三角形自动移动，变为图（5）；接下来，又变为图（6）．

图（4）　　　　　　　　　　　　　　图（5）　　　　　　　　　　　　　图（6）

四、提出问题

1．通过证明你发现直角三角形的三边长有什么样的关系呢？

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即

2．在拼图游戏中，计算机是怎样根据勾股定理来确定拼接后大正方形边长的呢？

3．如图，想一想，计算机这样分割可以吗？两条分割线的长度都是多少？有什么样的位置关系？

五、勾股定理的由来

我国是最早了解勾股定理的国家之一．三千多年前，我国周朝数学家商高发现了直角三角形三边长之间存在这一关系时，称最短的直角边为“勾”，较长的直角边为“股”，斜边为“弦”．勾股定理由此而得名．

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，是为了纪念二千多年前毕达哥拉斯学派的，因为是他们首先证明了勾股定理．　

六、勾股定理的多种证明方法

（1）赵爽证法

东汉末至三国时代，吴国人赵爽为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》．

证法一：

证法二：

（2）欧几里得证法

欧几里得（Euclid，约325 B.C.－约 265 B.C.）的《几何原本》是用公理方法建立演演绎数学体系的最早典范．本证法就是取材自《几何原本》第一卷的第 47 命题．

这是欧几里得证法示意图，你能发现它的理论根据是什么吗？

七．思考与总结

◆想想勾股定理有什么用途？它能帮助我们解决什么问题？

◆直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？

八．课外拓展

一般地，我们把满足关系的三个正整数，，称为勾股数．

例如，3、4、5是勾股数；6、8、10是勾股数；5、12、13是勾股数．

现在的问题是：勾股数有多少组？如何找出这些勾股数呢？

网络课程资源

◆《九章算术》

http://www.sdlunzhong.cn/stasp/2003yj/wxh/jzsx/

◆毕达哥拉斯与勾股定理

http://www.0-100.com.cn/2/12/203/1751.htm

◆勾股定理的发现和证明

http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggdl.htm

◆中西两种勾股定理证明方法的统一

http://www.czb27252.nease.net/BKXT/chuer/gougudingli/a/a237/text/237zs_3.htm

◆西方的勾股定理之父——毕达哥拉斯

http://www.mxms.net/html/5/38/95/2006/3/xu5086191017171360025548-0.htm

◆送给“外星人”的“弦图”

http://www.pep.com.cn/200406/ca488385.htm

◆勾股定理（华氏定理，商高定理）

http://www.edp.ust.hk/math/history/5/5_5/5_5_3.htm

◆从欧几里得到微分几何

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_06_1

◆陈子测日与勾股定理之发现

http://www.pep.com.cn/200406/ca488367.htm

◆数学经典问题．商高定理（毕达哥拉斯定理）

http://www.oursci.org/ency/math/015.htm